domingo, 17 de mayo de 2015

Tema 8 - MEDIDAS EN GEOMETRÍA

Ya hemos conocido a Tales y Pitágoras, y hemos visto que con sus teoremas somos capaces de realizar muchas mediciones diferentes, y aplicar esos conocimientos para resolver problemas más cercanos.

Hoy quisiera presentaros a otro de esos sabios matemáticos antiguos, y contaros lo que fue capaz de hacer.

¿Vosotros sabríais medir ahora mismo el diámetro y el perímetro del planeta Tierra?

Si no lo sabíais, hubo un tiempo en donde se pensaba que la Tierra era plana, aunque siempre existieron un montón de sabios y matemáticos que se oponían ante tales "creencias" e intentaban justificar matemáticamente lo contrario. De hecho, nuestro querido Pitágoras ya se atrevía cerca del año 550 a.C. a afirmar que la Tierra era redonda. Pero fue unos años después cuando otro griego llamado Eratóstenes midió el perímetro del planeta.

Que quede claro que no es nada sencillo imaginar el procedimiento. Eratóstenes era  por entonces el director de la famosísima biblioteca de Alejandría (la que a la postre quedara sumida en un incendio en el mayor desastre que se conoce contra la cultura mundial) . Nuestro protagonista era astrónomo, geógrafo y matemático ( y filósofo, claro, como todos los griegos) . Pero en vez de contaros cómo lo hizo, prefiero que lo veáis:



Impresionante, ¿verdad? Si os habéis dado cuenta, lo importante no es valorar la exactitud con la que alguien midió la circunferencia de la tierra hace casi 2300 años, sino la genialidad de su idea, y el hecho de que para conseguirlo usó alguno de los conocimientos que nosotros hemos adquirido en este curso, como por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo da 180 grados:



Otra herramienta que nosotros también conocemos es  la de los "Ángulos Correspondientes", que vemos que Eratóstenes usa para deducir el ángulo que forma el centro de la tierra con la distancia correspondiente entre Siena y Alejandría.



Voy a dejaros otro vídeo en donde explica igualmente las mediciones de Eratóstenes, para que entre ambos tengáis toda la información completa y los comparéis. Cuentan lo mismo, pero completándose, y aunque no coincidan en las cifras, vuelvo a insistir que lo importante fue la increíble idea que tuvo alguien hace 22 SIGLOS!!




Y me dejo lo mejor para el final, claro. Estoy seguro de que muchos de vosotros habéis visto esos famosos palos donde se colocan ahora los teléfonos móviles para hacerse uno autofotos. Son más conocidos como "Palos Selfie". Pues bien, ¿sabríais calcular el radio de la Tierra con uno de esos palos? ¿Creéis que es posible?  Lo es, por supuesto, aunque en el siguiente vídeo os van a hablar de algo llamado "Trigonometría" que ya estudiaréis más adelante, os recomiendo guarda el vídeo en "favoritos" y dentro de unos años, salir el 21 de Junio a la calle, y comprobar por vosotros mismos este experimento. Y si tenéis hermanos mayores que ya estén estudiando trigonometría, podéis vacilarles un ratito ;) Que lo disfrutéis!








Tema 7 - PROBLEMAS GEOMÉTRICOS.

El concepto de la geometría nace de la necesidad de resolver problemas que durante muchos años han estado formando parte de nuestra vida. Problemas que pueden ser muy básicos o pueden tornarse en muy complejos.

El simple  hecho de construir un camino por el que circulen las personas o carruajes. O directamente el hecho de construir una rueda para uno de esos carruajes. Son "problemas" cuya solución se basaba en las matemáticas, y por supuesto en este caso, en la geometría.




De esos problemas podemos pasar a cuestiones mucho mayores como el medir la altura de un objeto sabiendo la de otro, medir el ancho de un río, la altura de las pirámides (qué necesidad había, no lo sé, pero gracias a eso existe cierto teorema de un tal "Thales de Mileto").





Lo que quiero decir es que la Geometría y las Matemáticas no es algo que alguien inventara hace muchos años para fastidiar durante la semana a un grupo de niños de sexto de Primaria. Ni mucho menos. Ambos conceptos son herramientas indispensables en nuestro día a día, y es así como tenemos que verlos.

Para ello, vamos a proponer una serie de problemas geométricos, cuya solución tendréis que compartir en los comentarios de esta entrada. 

Habrá un premio para quienes más problemas solucionen, un premio "geométrico", por supuesto. Dicho todo esto, vamos "al lío":

PROBLEMA 1:

Este cuadrado tiene 24 centímetros de perímetro. 
- ¿Qué área tiene?
- Si lo cortamos por las líneas azules y colocamos los trozos resultantes formando un rectángulo, ¿qué perímetro y área tendrá?






PROBLEMA 2:

De las siguientes figuras, indica la respuesta correcta en cada uno de los casos:




PROBLEMA 3:

Indica en cada caso la figura que se puede CONSTRUIR si tuviéramos tijeras y pegamento. Da igual que no hayas visto la figura nunca. Intenta imaginarlo.











PROBLEMA 4

Se cae un poste de 14.5 metros de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 metros de él. 
- ¿A qué altura del edificio golpeará contra la pared?
- Si  desde el suelo, el edificio tiene ventanas cada 2.5  metros, ¿habrá que llamar al cristalero para que cambie alguna?



PROBLEMA 5

En las fiestas de un pueblo cuelgan una estrella de 1 metro de alto en medio de una cuerda de 34 metros que está atada a los extremos de dos postes de la luz de 12 metros  separados  entre sí 30 metros.
Justo por debajo de la estrella, durante las fiestas, tiene que pasar una carroza de 2'8 metros de altura. - ¿Tendrá algún problema?




PROBLEMA 6

Este problema es para premio, así que poned todo vuestro esfuerzo en él:
Teniendo el cuenta que el niño del siguiente dibujo ve toda la torre reflejada en el agua, ¿Cuál es la distancia que le separa de la base de la torre si conoce el resto de las distancias?




Imagino que recordaréis el PASAPALABRA que jugamos en el tema anterior. ¿Os gustó? Espero que sí, porque para terminar esta entrada he pensado en jugar otra partida, pero bastante más difícil. De hecho en esta ocasión vais a encontrar contenidos de la ESO, pero ... ¿qué es la vida si no nos ponemos algún que otro reto? 
Os animo a que intentéis completarlo con vuestros conocimientos, y en una segunda tanda, que hagáis una búsqueda en internet sobre las preguntas que no habéis sido capaces de contestar. 
Pero ya sabéis, independientemente de una cosa o de la otra, no deja de ser un juego, así que JUGAD y PASADLO BIEN!!





Tema 6 - GEOMETRÍA

Como ya comentamos en la anterior entrada del blog (por cierto, sigue activa y esperando vuestros interesantes comentarios) lo que vamos a hacer en las entradas de los temas 6 y 7 es plantear ejercicios, problemas, y con toda seguridad, alguna curiosidad digna de conocer del mundo de la geometría.

Se trata en la mayor parte de ejercicios interactivos, virtuales, cuya realización suele ser más amena y entretenida que el hecho de coger un lápiz y papel y ponernos a hacer operaciones.

Se recomienda DESACTIVAR CUALQUIER BLOQUEADOR DE ANUNCIOS que tenga vuestro navegador, porque es posible que bloquee el contenido que quiero mostraros (estas cosas de la programación en Flash y demás, ya imagino que os irá sonando)






                                    1. Comenzamos con los ÁNGULOS:
















2. Seguimos con RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS













                                 3. Volvemos a repasar los ÁNGULOS







 




4. Veamos un repaso sobre los POLÍGONOS








Aunque no poseemos aún todos los conocimientos necesarios para afrontar la siguiente prueba, os voy a proponer un juego muy interesante. Imagino que todos habéis oído hablar del juego televisivo de PASAPALABRA. Pues bien, os propongo jugar exactamente a eso, pero claro, todas las definiciones que tendréis que adivinar estarán relacionadas con la geometría.

Volveremos a repetir esta prueba tras ver los siguientes temas No uséis ayuda, no tengáis el navegador abierto al lado para buscar información. Simplemente JUGAD, y divertiros. Con lo que hemos visto deberíais ser capaces de acertar casi todas. Suerte y ....

Disfrutad del PASAPALABRA GEOMÉTRICO!!!













Tema 5 - REPASO DE FRACCIONES, DECIMALES, PROPORCIONES Y POTENCIAS

Esta vez , y probablemente con los temas que nos quedan por delante, vamos a utilizar el blog para practicar diferentes problemas de lo que ya hemos visto.

En esta ocasión vamos a repasar lo aprendido sobre FRACCIONES, pero antes de nada, me gustaría que nos riésemos juntos con dos chistes sobre fracciones, a ver si los entendéis. ¡El segundo es buenísimo!



A tenor de los chistes, ¿Qué diríais de "Chiripa"? ¿Atacarán en algún momento? Yo creo que esa batalla será eterna si Chiripa sigue contando con fracciones propias, ¿no creéis?

Para refrescar las fracciones vamos primero a hacer unos problemillas sobre "partes del todo":



Si lo tenéis bastante dominado, en este mismo recurso virtual podéis practicar otro tipo de ejercicios de PROPORCIONALIDAD: Verás que son varios ejercicios, en donde además obtienes una explicación de lo que vas haciendo. Muy interesante y ameno a la vez.





Y para terminar de entender este sentido de las fracciones, vamos a recurrir a un milenario puzzle chino llamado TANGRAM, al cual seguramente hayáis jugado en alguna ocasión, sin daros cuenta siquiera de que también se basa en fracciones.

Lo primero es que cada uno dibuje y recorte en una cartulina las piezas de un Tangram. A continuación y contestando las siguientes preguntas, vamos a deducir qué partes de todo el Tangram ocupan cada una de sus piezas.

Tomamos el cuadrado grande como el TOTAL, la unidad = 1

- ¿Cuántos triángulos pequeños necesitaríamos para rellenarlo?

- ¿Qué parte del todo correspondería a cada uno?

- Hacemos ahora lo mismo pero con el cuadrado amarillo.

De esta forma vamos a ser capaces de deducir qué valor tiene cada figura pequeña respecto del total, de la unidad.


Si lo hemos hecho bien habremos conseguido lo siguiente





(NO MIRES MÁS ABAJO SI AÚN NO LO HAS HECHO )







¿SEGURO QUE LO HAS HECHO? Vale !!!






Como puedes ver, hemos obtenido que el cuadrado pequeño es 1/8 del total, los dos triángulos azul oscuro se llevan 1/16 parte del total cada uno, él triángulo rojo es 1/8 (igual que el cuadrado), el romboide es también 1/8 y finalmente el triángulo grande es 1/4 del total.





Es el momento de hacer figuras y calcular qué parte les corresponde en fracciones, así que os dejo unas cuantas para que las intentéis hacer en casa y las calculéis. Espero vuestros comentarios en la parte de abajo del blog, para que comparéis resultados ;)



Vamos a repasar ahora un poco los NÚMEROS DECIMALES. Antes de nada, un repasito de lo que ya hemos visto. En siete minutos vamos a despertar nuestras neuronas y posteriormente haremos algún ejercicio:

 


Y por último vamos a poner en práctica todo lo aprendido. Cualquier duda, ya sabes, compártela en el blog en el apartado de comentarios. Cada día responderé a todas las que haya.







Tema 4 - POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS.

Las potencias y las raíces cuadradas son una parte de las matemáticas sobre las que no hemos indagado mucho durante el curso, pero vamos a intentar ver primero el por qué de su existencia.

¿Qué podrían tener que ver las potencias y el ajedrez?  ... ¿Se os ocurre algo? Voy a daros una pista:



¿Qué os parece? ¿Os hacéis una idea de los granos de trigo necesarios? Imagino que os habréis dado cuenta de lo siguiente:

Primera casilla = 1 grano
Segunda casilla = 2 granos = 21
Tercera casilla = 4 granos = 22
Cuarta casilla = 8 granos = 23
Quinta casilla = 16 granos = 24

Es decir, que en cada casilla estamos usando una potencia inmediatamente superior a la anterior del número dos.

Pero entonces.... ¿seríais capaces de calcular cuántos granos de trigo tenía que entregarle el Rey al inventor del ajedrez? Veámoslo:


Increíble ¿verdad? El inventor del ajedrez estaba pidiendo (sin que nadie se diera cuenta a priori) la siguiente cantidad de granos de trigo:

1'84467 x 1019

¿Queréis saber cual fue el año pasado la producción MUNDIAL de trigo en granos?

8'55264 x 1014

Sabemos poco sobre las potencias, pero sabemos lo suficiente como para saber que:

1000 = 103
1000000 = 106
1000000000 = 109
1000000000000 = 1012
100000000000000 = 1014  ------ Esta es la magnitud de producción de trigo MUNDIAL
10000000000000000000 = 1019 ------ Esta es la magnitud de los granos de trigo del TABLERO

Por lo tanto no nos queda ninguna duda: Ni había NI HAY granos de trigo el año EN EL MUNDO para satisfacer la recompensa pedida por este genio matemático que inventó el ajedrez.



Como veis, las potencias nos ayudan para calcular cantidades numéricas que se escapan a nuestra percepción, y las potencias del número 10 las usamos continuamente sin saberlo cuando hablamos de metros o kilómetros, o de gramos y kilogramos.

Las potencias del número 2 son igualmente muy útiles, y aunque para calcular el número de granos de trigo del tablero del ajedrez se deben usar otras operaciones matemáticas llamadas "Progresiones", estas se basan en realidad en sumas de potencias. De hecho, con paciencia, tiempo, y unas cuantas hojas, podemos calcular a mano y solamente con potencias los granos del tablero.

Un gran invento las potencias, ya lo veréis.

De las raíces veremos más cuando nos metamos en el precioso mundo del cálculo de áreas de polígonos, concretamente de los triángulos. De momento simplemente debemos guardar la siguiente idea:

- La raíz cuadrada de un número es otro número que multiplicado por sí mismo da el primero.

- Por ejemplo, ¿ cuál será la raíz cuadrada de 16?  Pues un número que multiplicado por sí mismo de 16. Por supuesto, EL CUATRO, porque 4 x 4 = 16

- ¿Y la raíz cuadrada de 25? Efectivamente, el CINCO, ya que 5 x 5 = 25

- ¿Y que son 4 x 4 y 5 x 5? Seguro que ya te has dado cuenta .... SON POTENCIAS: 42 y   52

Efectivamente, como puedes ver, las potencias y las raíces están relacionadas entre sí. Qué mundo tan fascinante este de las matemáticas, ¿verdad?

Nos vemos en la próxima lección !!!

Tema 3 - PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES


Hola clase,

Todos tenemos presentes que este es uno de los temas que más complicado nos ha resultado de entender, así que vamos a ver si a través de ciertos juegos y algunas referencias somos capaces de despejar las dudas que tengamos sobre números proporcionales y porcentajes.

Vamos a comenzar con las PROPORCIONES, y lo vamos a hacer de la mano de dos amigos que he conocido: Poncho y Troncho. Os dejo con ellos, que estoy seguro de que van a hacer un resumen muy entretenido de lo que hemos visto en este tema:




Simpáticos, ¿Verdad? Otro día conoceremos más aventuras de Troncho y Poncho. Lo importante es que os haya quedado una idea un poco más clara de lo que son las proporciones, tanto directas como inversas.

Como sabéis, podemos utilizar la proporcionalidad en las fracciones, de forma que podemos decir que 2/3 es proporcional a 3/9 (donde tanto el numerador como el denominador son 3 veces mayor que antes) . En este caso son directamente proporcionales. 

Para ver si nos ha quedado más o menos claro, vamos a realizar la siguiente actividad, la cual será muy útil para cuando queráis preparar una fiesta de cumpleaños ;)


Y aprovechando que estamos en caliente, intentaremos también realizar la siguiente, un poco más difícil, solamente indicada para mentes muy despiertas, ¿te atreves?



Perfecto, sigamos entonces avanzando y vayamos a repasar un poco sobre los PORCENTAJES.

- ¿Sabías que más del 50% de las personas de este mundo no han hecho ni recibido nunca una llamada telefónica?

- ¿Sabías que es imposible chuparse el codo?

- ¿Sabías que EE.UU es el país con más porcentaje de población encarcelada? De hecho, el 22% de los presos de todo el mundo se encuentran allí.

- ¿Sabías que el agua constituye el 98% de un melón, el 80% de un pez y el 60% del cuerpo humano? Y si el melón es prácticamente agua, ¿por qué nos dicen que no hay que comerlo por la noche? 

- ¿Sabías que el 80% de los que han leído lo del codo lo han intentado? ¿Has sido uno de ellos?

- ¿Sabías que el 75% del planeta Tierra es agua?

- ¿Sabías que solo el 12,5% de la masa de un iceberg está sobre el agua? El resto se encuentra debajo y no podemos verlo.

Bueno, como podéis observar, hablar de porcentajes es algo tan habitual que casi no nos damos cuenta de ello. Los estamos usando continuamente, y para vuestra sorpresa, no solamente con los descuentos de las rebajas, aunque probablemente esa sea una de las formas más sencillas de entenderlos.

Recordar que cuando hablamos de porcentajes hablamos de que hemos dividido algo en 100 partes y escogemos un valor de esas partes. Se ve perfectamente con las siguientes imágenes:

         - Cuando hablamos de porcentaje queremos decir en realidad "por cada 100"




Los porcentajes podemos expresarlos también en números decimales o fracciones:



Para terminar, vamos a realizar unos cuantos juegos para ver si hemos entendido bien en clase cómo realizar porcentajes:




Seguro que ya ha quedado todo un poco más claro. Si no es así, ya sabes. Comparte tus dudas en el blog y tanto tus compañeros como los profesores intentaremos ayudarte.

Que tengáis un día 100% genial!! 

Tema 2 - LOS DECIMALES

En este tema hemos aprendido a relacionar los números decimales con las fracciones y hemos visto que están absolutamente relacionados entre ellos. Tanto es así, que hay ocasiones en donde podemos llegar a descubrir cosas realmente interesantes.

Os hago una pregunta. Si en un examen, sacar una nota por debajo de un 5 es un suspenso, ¿qué supone sacar un 4'9? ¿ Y sacar un 4'99 ? ¿ Y qué me decís de un 4' 9 periódico?

En principio parece una pregunta sencilla, pero si atendemos a la siguiente demostración, veremos que quizás sea algo más compleja de lo que pensamos:

                1 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0,333… + 0,333… +0,333… = 0,999…

Luego si podemos demostrar que 1 = 0'9999999999... entonces también podríamos demostrar que 5 =  4'99999999999  y aprobar por lo tanto un examen donde hemos sacado "menos de 5" ;)

Si me lo demostráis, y por desgracia alguien saca esa nota en un examen, os lo doy por aprobado.

- El número PI

Seguro que si os pregunto cuál es el número PI enseguida responderéis aquello de 3,1416 ... pero si os sigo preguntando decimales ¿os los sabríais? Pues este señor sí:



Se llama Lu Chao, y en el año 2006 tardó más de 24 horas seguidas en recitar de memoria 67.890 decimales del famoso número PI. Esta hazaña le sirvió para entrar en el Libro Guinnes de los Records, y seguro que para ser un poco más conocido. Actualmente el record se encuentra en manos de un japonés que "extra oficialmente" recitó hasta 100.000 decimales. Y luego a nosotros nos resulta difícil recordar nuestro número de teléfono...




- La Peseta y el €uro

En España los números decimales han tenido más o menos importancia según .... LA MONEDA utilizada. Vosotros no lo habéis conocido, pero cuando usábamos la peseta, no usábamos decimales. Si comprábamos un chicle costaba 5 pesetas, si era una partida en una máquina recreativa eran 25 pesetas y así con cualquier cosa que compráramos. Ahora ha cambiado, ahora es necesario saber sumar y restar con decimales si no quieres que te tomen por tonto y te devuelvan mal el cambio al comprar la chuche que más nos gusta. No es nada extraño en la actualidad ir a comprar algo y que te digan "son 17.46 €" Le das un billete de 20 y tendrás que calcular la vuelta, digo yo, ¿no?

- Pero no es sólo el €uro

Efectivamente, no es solamente nuestra moneda actual lo que nos puede hacer pensar en decimales. Estamos completamente rodeados, y si no, fíjate:

¿Qué temperatura hace hoy?
¿A qué distancia exacta estás de la pared más cercana?
¿Cuánto pesas?
¿Cuánto mides?
¿Cuánto tiempo exacto tardas en ir andando hasta la cocina?
¿Qué hora es?
¿Qué nota has sacado en el último examen?

En el mundo real no existen apenas números exactos y tenemos que usar y dominar correctamente los decimales para todo. Y por supuesto, cualquier número decimal tiene relación con una fracción. De ahí la enorme importancia de ambos temas.

Algo que considero muy importante a la hora de entender los decimales es conocer sus valores, el hecho de saber ordenarlos. Hagamos una prueba:

NÚMEROS DECIMALES. COMPARACIÓN


Y qué tal se te da DESCRIBIR los números decimales. Veamos lo  hábil que eres ;)



Y por último, unos cuantos juegos para repasar este tema y hacerlo de la manera más entretenida posible. Hay varios, y muy diferentes, intenta jugar a todos y luego comparte cuál te ha gustado más.



Si te has divertido, comparte con tus amigos de otros colegios o tus vecinos estos juegos. Seguro que a ellos también le gustan.

Tema 1 - LAS FRACCIONES

Quizás nunca nos hayamos dado cuenta de que las fracciones son "algo que siempre ha estado ahí y que hemos usado", pero a lo que nunca le hemos dado nombre.

¿Quién no ha ido a un cumpleaños y en el momento de soplar las velas y repartir la tarta no le ha tocado un pedazo de la tarta?  Pues eso es una fracción.





En este caso lo que estamos viendo es una tarta de la que se han comido ya una parte que equivale a una fracción llamada 1/4 (Una CUARTA PARTE)





En este otro caso la carta se encuentra dividida en 8 partes, y hemos separado una de esas partes. Es decir, hemos separado de la tarta 1/8. ( Una OCTAVA PARTE)





Vale, con las tartas parece fácil, pero es que lo hacemos a diario con otro tipo de cosas. Por ejemplo, sin dejar el cumpleaños, seguro que cuando un compañero de clase cumple años trae una bolsa con chucherías. Y cuando acaba la clase las reparte entre sus compañeros. Lo que ha hecho cuando ha ido a comprar las chuches ha sido calcular cuantos alumnos hay y comprar para que a todos les toque lo mismo. Por ejemplo, en una clase con 30 alumnos, puede que haya comprado 30 chicles. Cuando reparte los chicles le da 1 a cada compañero. Lo que está haciendo es darle a cada uno 1/30 parte de los chicles que tiene en la bolsa.


Veamos el siguiente vídeo para que nos quede un poco más claro todo este tema de las fracciones antes de seguir avanzando:



Pero , ¿De dónde vienen las fracciones?

Venir, lo que se dice venir, no vienen de ningún sitio. Como acabamos de comprobar, SIEMPRE HAN ESTADO AQUÍ, con nosotros. Pero lo que sí que es cierto es que fueron los egipcios los primeros conocidos en utilizarlas tal y como las conocemos (con un número, una barra y otro número debajo de esa barra)
Algo característico de los egipcios es que solamente usaban el número 1 encima de la barra (conocido como numerador) y no usaban el formato actual que conocemos, sino otro mucho más .... más egipcio ;)



Es decir, que para cualquier tipo de cálculo, ellos reducían el número a fracciones con el numerador igual a uno y luego realizaban la operación. Por lo tanto, nosotros podemos ser capaces de reducir cualquier número a una fracción "egipcia", aunque no tiene porque ser única. Veamos un ejemplo:



 -- Una aplicación muy interesante de las fracciones --

Me gustaría recoger aquí la idea que tuvieron en la web El Valor de la Educación Física , en donde tras jugar un partido de Béisbol se preguntaron si era justo que al acabar un turno, el jugador que estuviera en la base 7 tuviera la misma puntuación que el que estuviera en la base 2, es decir, cero puntos, ya que en este deporte solamente se puntúa cuando completas todas las bases. Los alumnos respondieron que no, e idearon una forma más justa de puntuar : con fracciones. De esta forma, cuando acababa un turno se tenían en cuenta todas las bases ocupadas, y se sumaban. Esto les pareció mucho más justo, de forma que todos aportaban a la puntuación del equipo. Eso sí, tenían que hacer bien la suma para poder puntuar. Os dejo el vídeo de esta actividad. Espero que os guste y si queréis se lo planteamos un día al profesor de Educación Física para que podáis ponerlo en práctica.